题目内容
【题目】已知函数
，其中
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）证明：在区间
上只有唯一的零点.
【答案】（1）见详解；（2）证明过程见详解.
【解析】
（1）先对函数求导，得到
，先讨论
，得到函数恒增，再讨论
，
两种情况，利用导数的方法，解对应不等式，即可得出结果；
（2）先由（1），得到当
时，以及时，函数
在区间
上都是单调递增的，再由
，即可得出结论成立.
（1）因为
，所以，
当时，
，此时在
单调递增；
当
时，
，
①当时，
，
恒成立，
恒成立，此时在上单调递增；
②当时，令
由
得
或
；
由
得
；
所以在
和
上单调递增；
在
上单调递减；
综上：当时，在单调递增；
当时，在和上单调递增；
在上单调递减；
（2）由（1）知，当时，在单调避增，，
此时在区间上有一个零点；
当时，
且
，
在单调递增；，此时在区间上有一个零点；
综上可知，在区间上只有唯一的零点
【题目】某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量
单位：万只
与相应年份
序号的数据表和散点图
如图所示，根据散点图，发现y与x有较强的线性相关关系，李四提供了该县山羊养殖场的个数
单位：个关于x的回归方程
．
年份序号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
年养殖山羊 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
根据表中的数据和所给统计量，求y关于x的线性回归方程参考统计量：
，
；
试估计：
该县第一年养殖山羊多少万只
到第几年，该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了？
附：对于一组数据
，
，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
．
【题目】为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：cm），经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27 cm及以上的树苗为优质树苗．
（1）求图中a的值；
（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表：
A试验区 | B试验区 | 合计 | |
优质树苗 | 20 | ||
非优质树苗 | 60 | ||
合计 |
将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由；
（3）用样本估计总体，若从这批树苗中随机抽取4棵，其中优质树苗的棵数为X，求X的分布列和数学期望EX．
下面的临界值表仅供参考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式：
，其中
．）
