题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求证:
;
(2)讨论函数零点的个数.
【答案】(1)见证明;(2)见解析
【解析】
(1),对函数求导,研究函数的单调性,求函数最小值,证得函数的最小值大于0;(2)对函数求导,研究函数的单调性,得到函数的最值和极值,进而得到参数的范围.
证明:当
时,
.
令则
当时,
;当
时,
,
时
,
所以在
上单调递减,在
单调递增,
所以是
的极小值点,也是最小值点,
即
故当时,
成立,
,由
得
.
当时,
;当
时,
,
所以在
上单调减,在
单调增,
所以是函数
得极小值点,也是最小值点,
即
当,即
时,
没有零点,
当,即
时,
只有一个零点,
当,即
时,因为
所以
在
上只有一个零点;
由,得
,令
,则得
,所以
,于是在
在
上有一个零点;
因此,当时,
有两个零点.
综上,时,
没有零点;
时,
只有一个零点;
时,
有两个零点.
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