题目内容
【题目】已知函数,
.
当
时,
,求实数a的取值范围;
当
时,曲线
和曲线
是否存在公共切线?并说明理由.
【答案】(1);(2)存在公共切线,理由详见解析.
【解析】
(1)构造函数,求出其最大值,解不等式即可得到实数
的取值范围;
(2)假设存在这样的直线且直线
与曲线和曲线
分别相切与点
.分别求出两条切线方程,根据斜率与纵截距建立方程组,减元后得到
,构造新函数研究单调性与极值即可.
解:令
,则
.
若,则
,若
,则
.
所以在
上是增函数,在
上是减函数.
所以是
的极大值点,也是
的最大值点,即
.
若恒成立,则只需
,解得
.
所以实数的取值范围是
.
假设存在这样的直线
且与曲线
和曲线
分别相切与点
.
由,得
.
曲线在点
处的切线方程为
,即
.
同理可得,
曲线在点
处的切线方程为
,即
.
所以则
,即
构造函数
存在直线与曲线
和曲线
相切,
等价于函数在
上有零点
对于.
当时,
,
在上单调递增.
当时,因为
,所以
在
上是减函数.
又,,所以存在
,使得
,即
.
且当,
时,当
时,
.
综上,在
上是增函数,在
上是减函数.
所以是
的极大值,也是最大值,且
.
又,
,所以
在
内和
内各有一个零点.
故假设成立,即曲线和曲线
存在公共切线.
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