Question

9．已知函数f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}-1$，若方程f（1+x²）-g（x）=k有三个根，求满足条件的实数k的取值是1．

Answer 1

分析 方程f（1+x²）-g（x）=k可化为方程ln（1+x²）-$\frac{1}{2}$（1+x²）=k-$\frac{3}{2}$；从而由已知可得x=0是方程f（1+x²）-g（x）=k的根，从而解得．

解答 解：∵f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}-1$，
∴方程f（1+x²）-g（x）=k可化为
方程ln（1+x²）-$\frac{1}{2}$（1+x²）=k-$\frac{3}{2}$；
∵函数h（x）=ln（1+x²）-$\frac{1}{2}$（1+x²）是偶函数，
又∵方程f（1+x²）-g（x）=k有三个根，
∴x=0是方程f（1+x²）-g（x）=k的根，
∴ln1-$\frac{1}{2}$=k-$\frac{3}{2}$，
故k=1；
故答案为：1．

点评 本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用及函数的性质的判断与应用，属于中档题．