题目内容
4．设F1和F2是双曲线$\left\{\begin{array}{l}x=2secθ\\ y=tanθ\end{array}\right.（θ为$为参数）的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，那么△F1PF2的面积是（ ）| A． | 1 | B． | $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ | C． | 2 | D． | 5 |
分析 由双曲线$\left\{\begin{array}{l}x=2secθ\\ y=tanθ\end{array}\right.（θ为$为参数），消去参数θ可得：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y2=1．利用双曲线的定义与勾股定理即可得出．
解答 解：由双曲线$\left\{\begin{array}{l}x=2secθ\\ y=tanθ\end{array}\right.（θ为$为参数），消去参数θ可得：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y2=1．
可得a=2，b=1，∴$c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
设|PF1|=m，|PF2|=n，m＞n，
则$\left\{\begin{array}{l}{m-n=2a=4}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=4{c}^{2}=20}\end{array}\right.$，可得mn=2．
∴△F1PF2的面积S=$\frac{1}{2}mn$=1．
故选：A．
点评 本题考查了参数方程化为普通方程、双曲线的定义、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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