题目内容
【题目】已知函数
.
（1）讨论函数
的单调区间；
（2）证明：
.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
(1)
,分
和
两种情况讨论单调性即可；(2)法一：将不等式
变形为
，构造函数
，证明
即可；法二：将不等式变形为
，分别设
，求导证明
即可.
(1) 
，
当时，
，函数
的单调增区间为
，无减区间；
当时，
，当
，
，
单增区间为
上增，单调减区间为
上递减。
(2)解法1： 
，即证，令，
，
，令
，
，
在，上单调递增，
，
，故存在唯一的
使得
，
)在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
当
时，
， 
时，
； 所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
，得证.
解法2：要证： 
，即证： ，令
，
，当时，
，时，
；所以在上单调递减，在上单调递增， 
； 令
，
，，当
时，，
时，
； 所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，
，得证.
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