题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)令函数,若
时,
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;
(2)当时,将g(x)分为
与
两部分,可以证明两部分均大于等于0,当
时,求导分析可得存在
,使得g(x)在
时,
,不满足题意,综合可得结果.
(1)由得
,可知函数
的定义域为
.
由.
①当时,
,
,可得函数
的减区间为
,没有增区间;
②当时,
,令
得
,可得函数
的减区间为
,增区间为
.
(2)由题意有.
①当时,令
,有
,故函数
为增函数,有
,
可知当时,
.
又当时,
,故当
时,
;
②当时,
,可知函数
为增函数.
由,由①知当
时,
,有
.
可知当时,
.
由上知存在,使得
,故函数
的减区间为
,增区间为
,又由
,可得当
时,
,不符合题意.
由上知所求实数的取值范围为
.
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