题目内容
【题目】已知双曲线的两个焦点为
,
,并且
经过点
.
(1)求双曲线的方程;
(2)过点的直线
与双曲线
有且仅有一个公共点,求直线
的方程.
【答案】(1);(2)
或
【解析】
(1)利用,
以及
列方程组,解方程组求得
,由此求得双曲线
的方程.
(2)当直线斜率不存在时,直线与双曲线没有交点.当直线
斜率存在时,设出直线
的方程,联立直线
的方程和双曲线的方程,消去
得到
,根据二次项系数和判别式进行分类讨论,由此求得直线
的方程.
(1)由已知可设双曲线的方程为
,
则,
解得,
所以双曲线的方程为
.
(2)当直线斜率不存在时,显然不合题意
所以可设直线方程为
,
联立,得
,
①当,即
或
,方程
只有一解,直线
与双曲线
有且仅有一个公共点,此时,直线
方程为
,
②当,即
,要使直线
与双曲线
有且仅有一个公共点,
则,解得
,
此时,直线方程为
,
综上所述,直线的方程为
或
.
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