题目内容
【题目】设函数,曲线
在点
处的切线方程为
.
(Ⅰ)求、
.
(Ⅱ)设,求
的最大值.
(Ⅲ)证明函数的图像与直线
没有公共点.
【答案】(Ⅰ),
.(Ⅱ)
.(Ⅲ)见解析.
【解析】试题分析:(1)由导数的定义知,
,求得
,
;(2)
,
在
上单调递增,在
上单调递减,
在
的最大值为
;(3)函数
的图像与直线
没有公共点等价于
,等价于
,即
,通过求导可证。
试题解析:
(Ⅰ)函数的定义域为
,
由题意可得,
,
故,
.
(Ⅱ),则
,
当时,
,当
时,
,
∴在
上单调递增,在
上单调递减,
∴在
的最大值为
.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,
又,
∴函数的图像与直线
没有公共点等价于
,
而等价于
,
设函数,则
,
∴当时,
,
当时,
,
∴在
上单调递减,在
上单调递增,
∴在
的最小值为
,
综上,当时,
,
即,
故函数的图像与直线
没有公共点.
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