题目内容
【题目】如图，在三棱锥
中， 
是正三角形，面
面
， 
， 
， 
和
的重心分别为
， 
.
（1）证明： 
面
；
（2）求
与面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) 
.
【解析】试题分析：（1）取
中点
，连结
，由重心性质可得
， 
，推导出出
，即可证明
面
；（2）以
中点为原点，建立空间直角坐标系，由
及
，推导出
及
，再根据条件写出
， 
， 
，然后求出面
的一个法向量，即可求出
与面
所成角的正弦值.
试题解析：（1）证明：取
中点
，连结
，由重心性质可知
， 
分别在
， 
上且
， 
，所以在
中有
，
所以
，又
平面
， 
平面
，
所以
平面
.
（2）解：以
中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
∵
， 
∴
∴
，
又由条件
， 
， 
，
∴
， 
， 
.
设面
的法向量为
，则
取
，则
∴
，
∴
，即所求角的正弦值为
.
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