Question

【题目】已知在平面直角坐标系中，椭圆： 的长轴长为4，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过右焦点作一条不与坐标轴平行的直线，若交椭圆与、两点，点关于原点的对称点为，求的面积的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) .(2) .

【解析】试题分析：

(1)由题意可得， ，则椭圆的标准方程为.

(2)联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理和弦长公式可得面积函数，换元讨论可得的面积的取值范围为(0,3).

试题解析：

（1）椭圆： 的长轴长为4，离心率为，

， ，又，

， ，

则椭圆的标准方程为.

（2）是点关于原点的对称点， 原点是线段的中点，

则（为点到直线的距离），

由直线过右焦点，且不与坐标轴平行，可设直线： ， ，

联立方程得，得.

设， ，

则，

得.

又，

则，

令，则在上单调递增，则，

则，即的面积的取值范围为(0,3)