题目内容
【题目】设函数,
.
(Ⅰ)若,求
的极小值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,是否存在实常数和
,使得
和
?若存在,求出
和
的值.若不存在,说明理由;
(Ⅲ)设有两个零点
,且
成等差数列,试探究
值的符号.
【答案】(1)极小值为0(2)k=2,m= -1(3)
【解析】试题分析:(Ⅰ)首先由,得到关于
的两个方程,从而求出
,这样就可得到
的表达式,根据它的特点可想到用导数的方法求出
的极小值; (Ⅱ)由(Ⅰ)中所求的
和
,易得到它们有一个公共的点
,且
和
在这个点处有相同的切线
,这样就可将问题转化为证明
和
分别在这条切线
的上方和下方,两线的上下方可转化为函数与0的大小,即证
和
成立,从而得到
和
的值; (Ⅲ)由已知易得
,由零点的意义,可得到关于
两个方程,根据结构特征将两式相减,得到关于
的关系式
,又对
求导,进而得到
,结合上面关系可化简得:
,针对特征将
当作一个整体,可转化为关于
的函数
,对其求导分析得,
恒成立.
试题解析:解:(Ⅰ)由,得
,解得
2分
则=
,
利用导数方法可得的极小值为
5分
(Ⅱ)因与
有一个公共点
,而函数
在点
的切线方程为
,
下面验证都成立即可 7分
由,得
,知
恒成立 8分
设,即
,易知其在
上递增,在
上递减,
所以的最大值为
,所以
恒成立.
故存在这样的k和m,且10分
(Ⅲ)的符号为正. 理由为:因为
有两个零点
,则有
,两式相减得
12分
即,于是
14分
①当时,令
,则
,且
.
设,则
,则
在
上为增函数.而
,所以
,即
. 又因为
,所以
.
②当时,同理可得:
.
综上所述: 的符号为正 16分
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