题目内容

2．已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{NM}•\overrightarrow{NP}$成公差小于零的等差数列．
（1）求证：x2+y2=3（x＞0）
（2）若点P坐标为（x0，y0），记θ为$\overrightarrow{PM}$与$\overrightarrow{PN}$的夹角，求tanθ．

分析 （1）设出要求轨迹的点的坐标，根据所给的两个点的坐标写出要用的向量，做出向量的数量积，根据$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{NM}•\overrightarrow{NP}$成公差小于零的等差数列，列出不等式和等式，整理整式得到结果．
（2）求两个向量的夹角，根据球向量夹角的公式，先用求出数量积和模的乘积，求出角的余弦值，根据同角的三角函数的关系，用已知条件表示出tanθ

解答 解：（1）记P（x，y），由M（-1，0），N（1，0）得$\overrightarrow{PM}$=（-1-x，-y），
$\overrightarrow{PN}$=（1-x，-y），$\overrightarrow{MN}$=（2，0），$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MN}$=2（x+1）
∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=x2+y2-1，$\overrightarrow{NM}•\overrightarrow{NP}$=2（1-x），
∵$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{NM}•\overrightarrow{NP}$是公差小于零的等差数列
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}2+{y}^{2}-1=\frac{1}{2}[2（1+x）+2（1-x）]}\\{2（1-x）-2（1+x）＜0}\end{array}\right.$
即x2+y2=3（x＞0），
∴点P的轨迹是以原点为圆心，$\sqrt{3}$为半径的右半圆．
（2）点P的坐标为（x0，y0），则x02+y02=3，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=x02+y02-1=2，
∵|$\overrightarrow{PM}$|•|$\overrightarrow{PN}$|=$\sqrt{（1+{x}_{0}）^{2}{{+y}_{0}}^{2}}•\sqrt{（1-{x}_{0}）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$
=$\sqrt{（4+2{x}_{0}）（4-2{x}_{0}）}$=2$\sqrt{4-{{x}_{0}}^{2}}$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}}{|\overrightarrow{PM}||\overrightarrow{PN}|}$=$\frac{1}{\sqrt{4-{{x}_{0}}^{2}}}$，
∵0＜x0≤$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$＜cosθ≤1，0≤θ＜$\frac{π}{3}$，
sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\sqrt{1-\frac{1}{4-{{x}_{0}}^{2}}}$，
tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$
=$\sqrt{3-{{x}_{0}}^{2}}$=|y0|．

点评 这是一个求轨迹的问题，考查利用向量的数量积求向量的夹角、等差数列的定义，同角的三角函数关系，综合性较强．

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