Question

7．已知数列{a_n}的首项为a₁=1，且满足对任意的n∈N^*，都有a_n+1-a_n≤2ⁿ，a_n+2-a_n≥3×2ⁿ成立，则a₂₀₁₅=（　　）

• A． 2²⁰⁰⁶-1
• B． 2²⁰⁰⁶+1
• C． 2²⁰¹⁵+1
• D． 2²⁰¹⁵-1

Answer 1

分析 由a_n+2-a_n≥3×2ⁿ，得a_n+2-a_n+1+a_n+1-a_n≥3×2ⁿ，结合a_n+1-a_n≤2ⁿ得an+1-an+2≥-2×2n，则得到a_n+1-a_n≥2ⁿ，进一步得到an+1-an=2n．然后利用累加法求出数列{a_n}的通项公式，则答案可求．

解答 解：由a_n+2-a_n≥3×2ⁿ，得
a_n+2-a_n+1+a_n+1-a_n≥3×2ⁿ ①，
且${a}_{n+2}-{a}_{n+1}≤2×{2}^{n}$，
即${a}_{n+1}-{a}_{n+2}≥-2×{2}^{n}$  ②，
①+②得：a_n+1-a_n≥2ⁿ，
又a_n+1-a_n≤2ⁿ，
∴${a}_{n+1}-{a}_{n}={2}^{n}$．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2²+2¹+1
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1．
∴a₂₀₁₅=2²⁰¹⁵-1．
故选：D．

点评 本题考查了数列递推式，考查了数列与不等式的综合，训练了累加法求数列的通项公式，由两不等式联立得到${a}_{n+1}-{a}_{n}={2}^{n}$是解答该提的关键，是中档题．