Question

17．已知二次函数f（x）=x²-2mx+m-4，m为常数．
（I）若m=1，求f（x）在区间[0，3]上的值域；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥0的解集为（-∞，-1]∪[3，+∞），求实数m的值；
（Ⅲ）若方程f（x）=0的一个根小于0，另一个根大于2，求实数m的取值范圈．

Answer 1

分析 （I）若m=1，则函数f（x）=x²-2x-3的图象是开口朝上，且以x=1为对称轴的抛物线，结合二次函数的图象和性质，求出函数在区间[0，3]上的最值，可得f（x）在区间[0，3]上的值域；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥0的解集为（-∞，-1]∪[3，+∞），则-1，3为方程x²-2mx+m-4=0的两根，由韦达定理，可得实数m的值；
（Ⅲ）若方程f（x）=0的一个根小于0，另一个根大于2，则$\left\{\begin{array}{l}f（0）＜0\\ f（2）＜0\end{array}\right.$，解得实数m的取值范圈．

解答 解：（I）若m=1，则函数f（x）=x²-2x-3的图象是开口朝上，且以x=1为对称轴的抛物线，
区间[0，3]上，当x=1时，函数取最小值-4；当x=3时，函数取最大值0，
故f（x）在区间[0，3]上的值域为[-4，0]；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥0的解集为（-∞，-1]∪[3，+∞），
则-1，3为方程x²-2mx+m-4=0的两根，
故-1+3=2m，-1×3=m-4，
解得：m=1；
（Ⅲ）若方程f（x）=0的一个根小于0，另一个根大于2，
则$\left\{\begin{array}{l}f（0）＜0\\ f（2）＜0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}m-4＜0\\-3m＜0\end{array}\right.$，
解得：m∈（0，4）．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．