Question

2．已知向量$\overrightarrow a=（{cosα，sinα}），\overrightarrow b=（{cosβ，sinβ}）$，且向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足关系式：$|{k\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a+k\overrightarrow b}|$，其中k＞0．
（1）求证：$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）⊥（{\overrightarrow a-\overrightarrow b}）$；
（2）试用k表示$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，求$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最大值，并求此时向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角．

Answer 1

分析 （1）由已知向量的坐标求得$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}、\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的坐标，然后由数量积为0证得答案；
（2）把已知的向量等式两边平方，代入向量$\overrightarrow{a}、\overrightarrow{b}$的模，即可得到$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-\frac{{{k^2}+1}}{4k}≤-\frac{1}{2}$，进一步由数量积求夹角公式求得向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角．

解答 （1）证明：∵$\overrightarrow a=（{cosα，sinα}），\overrightarrow b=（{cosβ，sinβ}）$，
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=（cosα-cosβ，sinα-sinβ）$，
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）
=cos²α-cos²β+sin²α-sin²β=0．
∴：$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）⊥（{\overrightarrow a-\overrightarrow b}）$；
（2）∵$|{k\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a+k\overrightarrow b}|$，
∴$（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}=3（\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}）^{2}$，即${k}^{2}|\overrightarrow{a}{|}^{2}-2k\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}$=$3|\overrightarrow{a}{|}^{2}+6k\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+3{k}^{2}|\overrightarrow{b}{|}^{2}$，
整理得$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-\frac{{{k^2}+1}}{4k}≤-\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最大值为$-\frac{1}{2}$，此时k=1，
设向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=-\frac{1}{2}$，
夹角$θ=\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标表示，训练了利用数量积求斜率的夹角，是中档题．