Question

15．若数列{a_n}满足：对任意的n∈N^*，只有有限个正整数m使得a_m＜n成立，记这样的m的个数为（a_n）^*，则得到一个新数列{（a_n）^*}．例如，若数列{a_n}是1，2，3…，n，…，则数列{（a_n）^*}是0，1，2，…n-1，…已知对任意的n∈N^*，a_n=n²，则（（a_n）^*）^*=（　　）

• A． 2ⁿ
• B． 2n²
• C． n
• D． n²

Answer 1

分析 对任意的n∈N^*，a_n=n²，可得$（{a}_{1}）^{*}$=0，$（{a}_{2}）^{*}$=1=$（{a}_{3}）^{*}$=$（{a}_{4}）^{*}$，$（{a}_{5}）^{*}=2$=…=$（{a}_{9}）^{*}$，…，可得$（（{a}_{1}）^{*}）^{*}$=1，$（（{a}_{2}）^{*}）^{*}$=4，$（（{a}_{3}）^{*}）^{*}$=9，…，即可猜想出．

解答 解：对任意的n∈N^*，a_n=n²，
则$（{a}_{1}）^{*}$=0，$（{a}_{2}）^{*}$=1=$（{a}_{3}）^{*}$=$（{a}_{4}）^{*}$，
$（{a}_{5}）^{*}=2$=…=$（{a}_{9}）^{*}$，
$（{a}_{10}）^{*}$=3=…=$（{a}_{16}）^{*}$，…，
∴$（（{a}_{1}）^{*}）^{*}$=1，$（（{a}_{2}）^{*}）^{*}$=4，$（（{a}_{3}）^{*}）^{*}$=9，…，
猜想（（a_n）^*）^*=n²．
故选：D．

点评 本题考查了递推关系的应用、数列的通项公式，考查了猜想能力、计算能力，属于中档题．