Question

【题目】已知函数，曲线与在原点处的切线相同。

(1)求的值；

(2)求的单调区间和极值；

(3)若时，，求的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）； （2）见解析；（3）.

【解析】

（1）分别对函数和求导，由题意得，即可求出结果；

(2)由求增区间，由求减区间，进而可得出结果;

(3)构造函数，由导数的方法分类讨论研究其单调性和最值即可得出结果.

（1）因为，

依题意，，得，

（2）所以

当时， ；当时

故的单调递减区间为，单调递增区间为，

的极小值为 ；无极大值；

（3）由（1）知，当时，,,此时无论K取何值均满足，

当时，令

所以，

又令,所以

因为时，令得，

①当时，，所以在递增，

从而 即满足时，。

②当时，，所以在递增，

又因为，x趋近时趋近，

根据零点存在性定理所以存在使得，

所以在上递减，在上递增，因为,所以，

此时不满足时，

综上所述，的取值范围是。