Question

19．某几何体如图所示，底面ABCD是边长为2的正方形，ACFE是平行四边形，AE=2，∠EAB=∠EAD=60°．
（1）求$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{AE}$的值；
 （2）求|$\overrightarrow{AF}$|．

Answer 1

分析 （1）如图所示，建立空间直角坐标系．过点E作EO⊥平面ABCD，垂足为O，过点O分别作OM⊥AB，ON⊥AD，垂足分别为M，N，连接EM，EN．可得AB⊥EM，AD⊥EN．在Rt△AEM中，AE=2，∠EAM=60°，则AM=1，同理AN=1．在Rt△AOM中，∠OAM=45°，可得OM=1，OA=$\sqrt{2}$．在Rt△AEO中，∠EAO=45°．可得：E$（1，1，\sqrt{2}）$，F$（3，3，\sqrt{2}）$，C（2，2，0），即可得出．
（2）由（1）可得：$\overrightarrow{AF}$=$（3，3，\sqrt{2}）$．利用模的计算公式即可得出．

解答 解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．
过点E作EO⊥平面ABCD，垂足为O，过点O分别作OM⊥AB，ON⊥AD，垂足分别为M，N，连接EM，EN．
则AB⊥EM，AD⊥EN．
在Rt△AEM中，AE=2，∠EAM=60°，则AM=1，同理AN=1．
在Rt△AOM中，∠OAM=45°，∴OM=1，OA=$\sqrt{2}$．
∴在Rt△AEO中，∠EAO=45°．
∴E$（1，1，\sqrt{2}）$，F$（3，3，\sqrt{2}）$，C（2，2，0）．
∴$\overrightarrow{AE}$=（1，1，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AF}$=$（3，3，\sqrt{2}）$．
∵$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{AE}$=$3+3+\sqrt{2}×\sqrt{2}$=8；
（2）由（1）可得：$\overrightarrow{AF}$=$（3，3，\sqrt{2}）$．
∴$|\overrightarrow{AF}|$=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了通过建立空间直角坐标系解决向量的数量积问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．