题目内容
【题目】如图，已知三棱柱
中，侧棱与底面垂直，且
，
，
、
分别是
、
的中点，点
在线段
上，且
.
（1）求证：不论
取何值，总有
；
（2）当
时，求平面
与平面
所成二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）以点
为坐标原点，以
、
、
所在直线分别为
、
、
轴，建立空间直角坐标系
，求出向量
和
的坐标，通过
可证明出
；
（2）分别求出平面
的一个法向量和平面
的法向量，由此利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．
以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
.
（1）
，
，
，
.
，
，
因此，无论
取何值，；
（2）当
时，
，
，
，
而平面的法向量
，设平面的法向量为
，
则
，解得
，则
，
设
为平面与平面所成的锐二面角，则
.
因此，平面与平面所成二面角的余弦值是.
【题目】某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.
表1：一级滤芯更换频数分布表
一级滤芯更换的个数 | 8 | 9 |
频数 | 60 | 40 |
图2：二级滤芯更换频数条形图
以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.
（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；
（2）记
表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求的分布列及数学期望；
（3）记
分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若
，且
，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定的值.
