题目内容
4.已知数列{an}满足a1=$\frac{1}{3}$,an+1-an+2anan+1=0.(1)记bn=$\frac{1}{{a}_{n}}$,证明:数列{bn}是等差数列;
(2)记数列{anan+1}的前n项和为Sn,求证:Sn<$\frac{1}{6}$.
分析 (Ⅰ)通过在an+1-an+2anan+1=0两边同除以anan+1、整理得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2,进而可得结论;
(Ⅱ)通过(Ⅰ)知bn=2n+1,裂项可知anan+1=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$),并项相加即得结论.
解答 证明:(Ⅰ)由a1=$\frac{1}{3}$,an+1-an+2anan+1=0,可知an≠0,
故在an+1-an+2anan+1=0两边同除以anan+1,
整理得:$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2,即bn+1-bn=2,
故数列{bn}是以2为公差的等差数列;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn=2n+1,所以an=$\frac{1}{2n+1}$,
则anan+1=$\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$),
∴Sn=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$)
=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$)
<$\frac{1}{6}$.
点评 本题考查数列的通项及前n项和,裂项、并项求和是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.
练习册系列答案
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