Question

15．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点．在棱C₁D₁上是否存在一点F，使B₁F∥平面A₁BE？证明你的结论．

Answer 1

分析 分别取C₁D₁和CD的中点F，G，连接B₁F，EG，BG，CD₁，FG，由已知条件推导出四边形A₁BCD₁是平行四边形，进而各得到四边形B₁BGF是平行四边形，由此能证明B₁F∥平面A₁BE．

解答 解：在棱C₁D₁上存在点F，使B₁F∥平面A₁BE．
证明如下：
如图所示，分别取C₁D₁和CD的中点F，G，连接B₁F，EG，BG，CD₁，FG．
∵A₁D₁∥B₁C₁∥BC，且A₁D₁=BC，
∴四边形A₁BCD₁是平行四边形，∴D₁C∥A₁B．
又E，G分别为D₁D，CD的中点，∴EG∥D₁C，
从而EG∥A₁B．这说明A₁，B，G，E四点共面，∴BG?平面A₁BE．（6分）
∵四边形C₁CDD₁与B₁BCC₁都是正方形，F，G分别为C₁D₁和CD的中点，
∴FG∥C₁C∥B₁B，且FG=C₁C=B₁B，∴四边形B₁BGF是平行四边形，
∴B₁F∥BG．而B₁F?平面A₁BE，BG?平面A₁BE，
∴B₁F∥平面A₁BE．（12分）

点评 本题考查使得线面平行的点是否存在的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．