Question

16．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁₁＞0，S₁₂＜0，则$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$，$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$，…$\frac{{S}_{11}}{{a}_{11}}$中最大的是$\frac{{S}_{6}}{{a}_{6}}$．

Answer 1

分析 由题意和等差数列的性质以及求和公式可得等差数列的前6项为正数，从第7项开始为负数，数列的前6项和最大，可得结论．

解答 解：由S₁₁=$\frac{11（{a}_{1}+{a}_{11}）}{2}$=$\frac{11×2{a}_{6}}{2}$=11a₆＞0，∴a₆＞0，
同理可得S₁₂=$\frac{12（{a}_{1}+{a}_{12}）}{2}$=$\frac{12（{a}_{6}+{a}_{7}）}{2}$=6（a₆+a₇）＜0，
∴a₆+a₇＜0，结合a₆＞0可得a₇＜0，
∴等差数列的前6项为正数，从第7项开始为负数，
∴数列的前6项和最大，
故$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$，$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$，…$\frac{{S}_{11}}{{a}_{11}}$中最大的是$\frac{{S}_{6}}{{a}_{6}}$，
故答案为：$\frac{{S}_{6}}{{a}_{6}}$．

点评 本题考查等差数列的求和公式和最值，从数列项的正负入手是解决问题的关键，属基础题．