题目内容
12.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P在C上且其横坐标为1,以F为圆心,|FP|为半径的圆与C的准线l相切.(1)求p的值;
(2)设l与x轴交点E,过点E作一条直线与抛物线C交于A、B两点,求线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围.
分析 (1)由直线和圆相切的条件:d=r,结合条件,即可求得p=2;
(2)求出抛物线的方程,设出A,B的坐标,以及垂直平分线与x轴的交点的横坐标,由垂直平分线的性质,解得横坐标,再由直线和抛物线方程联立,运用韦达定理和判别式大于0,即可得到所求范围.
解答 解:(1)因为以F为圆心、|FP|为半径的圆与C的准线l相切,
所以圆的半径为p,即|FP|=p,
所以FP⊥x轴,又点P的横坐标为l,
所以焦点F的坐标为(1,0),从而p=2;
(2)由(1)知抛物线C的方程为y2=4x,
设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的垂直平分线与x轴的交点D(x0,0),
则由|DA|=|DB|,y12=4x1,y22=4x2,
得(x1-x0)2+y12=(x2-x0)2+y22,
化简得x0=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+2①
设直线AB的方程为x=my-1,代入抛物线C的方程,
得y2-4my+4=0,由△>0得m2>1,
由根与系数关系得y1+y2=4m,
所以x1+x2=m(y1+y2)-2=4m2-2,
代入①得x0=2m2+1>3,
故线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围是(3,+∞).
点评 本题考查抛物线的方程和性质,考查直线和抛物线的位置关系,注意正确设出直线方程,联立抛物线的方程,运用韦达定理和中点坐标公式,考查运算能力,属于中档题.
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