Question

【题目】已知函数f（x）=x+ ，g（x）=﹣x﹣ln（﹣x）其中a≠0，
（1）若x=1是函数f（x）的极值点，求实数a的值及g（x）的单调区间；
（2）若对任意的x1∈[1，2]，x2∈[﹣3，﹣2]使得f（x1）≥g（x2）恒成立，且﹣2＜a＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，其定义域为（0，+∞），

∴ ；又x=1是函数h（x）的极值点，

∴f'（1）=0，即1﹣a2=0，∴a=1或a=﹣1；

经检验，a=1或a=﹣1时，x=1是函数h（x）的极值点，

∴a=1或a=﹣1

（2）解：假设存在实数a，对任意的x1∈[1，2]，

x2∈[﹣3，﹣2]都有f（x1）≥g（x2）成立，

等价于对任意的x1∈[1，2]x2∈[﹣3，﹣2]时，都有[f（x）]min≥[g（x）]min，

当x∈[1，2]时， ．

∴函数g（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数．

∴[g（x）]min=g（2）=2+ln2．

∵ = ，且x∈[1，2]，﹣2＜a＜0，

①当﹣1＜a＜0且x∈[1，2]时， ，

∴函数 在[1，2]上是增函数．∴[f（x）]min=f（1）=1+a．

由1+a2≥2+ln2，得 ，

又∵﹣1＜a＜0，∴ 不合题意．

②当﹣2＜a≤﹣1时，若1≤x＜﹣a，则 ，

若﹣a＜x≤2，则 ，

∴函数 在[1，﹣a）上是减函数，在（﹣a，2]上是增函数．

∴[f（x）]min=f（﹣a）=﹣2a﹣2a≥2+ln2，得 ，

∴ ．

综上，存在实数a的取值范围为

【解析】（1）求出函数的导数，计算f′（1）=0，求出a的值即可；（2）问题等价于对任意的x1∈[1，2]x2∈[﹣3，﹣2]时，都有[f（x）]min≥[g（x）]min ， 根据函数的单调性求出a的范围即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．