Question

【题目】已知函数 且函数y=f（x）图象上点（1，f（1））处的切线斜率为0．
（1）试用含有a的式子表示b，并讨论f（x）的单调性；
（2）对于函数图象上的不同两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）如果在函数图象上存在点M（x0 ， y0），（x0∈（x1 ， x2））使得点M处的切线l∥AB，则称AB存在“跟随切线”．特别地，当 时，又称AB存在“中值跟随切线”．试问：函数f（x）上是否存在两点A，B使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出A，B的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定义域为（0，+∞），

∵f′（x）= ﹣ax+b=0，

∴b=a﹣1，∴f′（x）= ﹣ax+a﹣1=﹣ ，

当f′（x）＞0时，∵x＞0，a＞0，解得0＜x＜1，

当f′（x）＜0时，∵x＞0，a＞0，解得x＞1，

∴当f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减

（2）解：假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值跟随切线”，

则kAB= = ﹣ +a﹣1，

f′（ ）= ﹣ +a﹣1，

又kAB=f′（ ）得 = ，

∴ln =t，（t＞1），则lnt=2﹣ ，（t＞1），此式表示有大于1的实数根，

令h（t）=lnt+ ﹣2（t＞1），则h′（t）= ＞0

∴h（t）是（1，+∞）上的增函数，

∴h（t）＞h（1）=0，与lnt=2﹣ ，（t＞1）有大于1的实数根相矛盾，

∴函数f（x）的图象上不存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值跟随切线”

【解析】（1）根据对数函数的定义求得函数的定义域，根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，利用f′（1）=0，代入导函数化简即可得到a与b的关系式，用a表示出b；然后分别令导函数大于0和小于0得到关；（2）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．