题目内容
【题目】设函数,且
(其中e是自然对数的底数).
(Ⅰ)若,求
的单调区间;
(Ⅱ)若,求证:
.
【答案】(Ⅰ)增区间为,减区间为
;(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)当时
,令
,对
求导分析出其单调性,从而分析出函数值的符号,得到
的单调区间.
(Ⅱ)对求导讨论其单调性,分析其最小值,证明其最小值大于0即可.
(Ⅰ)由可得,
,又
,∴
,
,
,
令,
,
当时,
,
在
单调增函数,又
.
∴当时,
,
,当
时,
;
,
∴的单调增区间为
,减区间为
(Ⅱ)当时,
,符合题意.
方法(一)当时,
令,又
,
∴在
唯一的零点,设为
,有
且,
,
单调递减;
,
,
单调递增
∴∵
,∴
,两边取对数,
∴
(当且仅当
时到等号)
设,∴
,
当时,
,当
时,
;
又,且,
,趋向0时,
;
∴当,
,当且仅当
时取等号
由(1)可知,当时,
,故当
时,
,
,∴
综上,当时,
方法(二)
当时,(i)当
时
,
,
显然成立;
(ii)当时,构造函数
,
在
为减函数,∴
,∴
∴,∴
∴
又由,可得
,进而
综上:当时,
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动,治疗特种病的创新药研发成了当务之急.为此,某药企加大了研发投入,市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用
(百万元)和销量
(万盒)的统计数据如下:
研发费用 | 2 | 3 | 6 | 10 | 13 | 15 | 18 | 21 |
销量 | 1 | 1 | 2 | 2.5 | 3.5 | 3.5 | 4.5 | 6 |
(1)求与
的相关系数
精确到0.01,并判断
与
的关系是否可用线性回归方程模型拟合?(规定:
时,可用线性回归方程模型拟合);
(2)该药企准备生产药品的三类不同的剂型
,
,
,并对其进行两次检测,当第一次检测合格后,才能进行第二次检测.第一次检测时,三类剂型
,
,
合格的概率分别为
,
,
,第二次检测时,三类剂型
,
,
合格的概率分别为
,
,
.两次检测过程相互独立,设经过两次检测后
,
,
三类剂型合格的种类数为
,求
的数学期望.
附:(1)相关系数
(2),
,
,
.