题目内容
【题目】已知函数
．
（1）求证：函数
在
内单调递增；
（2）记
为函数的反函数．若关于
的方程
在
上有解，求
的取值范围；
（3）若
对于
恒成立，求
的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）[log2
，log2
]；（3）（log2
，+∞）
【解析】
（1）用单调性定义证明，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形，通过分析，与零比较，要注意变形要到位；
（2）先求得反函数
，构造函数，利用复合函数的单调性求得函数的值域；
（3）原不等式转化为
，
，
恒成立，解得即可．
解：（1）任取
，则
，
，
，
，
，
即函数
在
内单调递增
（2）
，
当
时，
，
的取值范围是
．
（3）
对于，恒成立，
，
在定义域上单调递增
，
上恒成立
即
在上恒成立
令
，
在定义域上单调递增，且
在
上也单调递增，由复合函数的单调性可知在上单调递增，
解得
．
故
的取值范围为
．
练习册系列答案
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【题目】自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：
20以下 | [20，30） | [30，40） | [40，50） | [50，60） | [60，70] | 70以上 | |
使用人数 | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人数 | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30，50）且未使用自由购的概率；
（2）从被抽取的年龄在[50，70]使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在[50，60）的概率；
（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？
