题目内容
【题目】已知椭圆:的左右焦点分别为、,左右顶点分别是、,长轴长为,是以原点为圆心,为半径的圆的任一条直径,四边形的面积最大值为.
(1)求椭圆的方程;
(2)不经过原点的直线:与椭圆交于、两点,
①若直线与的斜率分别为,,且,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标;
②若直线的斜率是直线、斜率的等比中项,求面积的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由题可得,再由四边形的面积最大值为列方程即可求得,问题得解。
(2)①设,,联立直线与椭圆方程可得:,即可表示出,,再整理,可得:,问题得解。
②由直线的斜率是直线、斜率的等比中项即可求得,再由弦长公式求得,求出点到直线的距离,即可表示,再利用基本不等式即可得解。
(1)由题可得:,即:,
当与轴重合时,四边形的面积最大值
由已知可得:,解得:
所以椭圆方程为:.
(2)①证明:设,,
将代入椭圆方程得:,
,
∴,,
∵,
∴,
解得:,
∴直线的方程为,即,
故直线恒过定点;
②由直线的斜率是直线,斜率的等比中项,
即有,即,
∴,整理得:,解得,
代入有,
,
点到直线的距离,
∴ ,
(当且仅当时,等号成立)
所以面积的取值范围是:.
【题目】司机在开机动车时使用手机是违法行为,会存在严重的安全隐患,危及自己和他人的生命. 为了研究司机开车时使用手机的情况,交警部门调查了名机动车司机,得到以下统计:在名男性司机中,开车时使用手机的有人,开车时不使用手机的有人;在名女性司机中,开车时使用手机的有人,开车时不使用手机的有人.
(1)完成下面的列联表,并判断是否有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关;
开车时使用手机 | 开车时不使用手机 | 合计 | |
男性司机人数 | |||
女性司机人数 | |||
合计 |
(2)以上述的样本数据来估计总体,现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检3辆,记这3辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为,若每次抽检的结果都相互独立,求的分布列和数学期望.
参考公式与数据:
参考数据:
参考公式
span>,其中.