题目内容
【题目】如图,曲线由曲线
和曲线
组成,其中点
为曲线
所在圆锥曲线的焦点,点
为曲线
所在圆锥曲线的焦点.
(1)若,求曲线
的方程;
(2)如图,作直线平行于曲线
的渐近线,交曲线
于点
,求证:弦
的中点
必在曲线
的另一条渐近线上;
(3)对于(1)中的曲线,若直线
过点
交曲线
于点
,求
的面积的最大值.
【答案】(1)和
;(2)证明见解析;(3)
.
【解析】
(1)本题曲线方程的求法实质为待定系数法,即根据条件列出两个方程组,解出对应参数即可(2)本题证明方法为以算代证,即先求出弦的中点
坐标,再代入双曲线渐近线方程进行验证.先根据条件设出直线方程,与椭圆方程联立方程组,根据韦达定理及中点坐标公式求出弦中点横坐标(或纵坐标),代入直线方程可得弦中点纵坐标(或横坐标),再代入双曲线另一渐近线方程进行验证.
(3)三角形的面积可转化为等于两个三角形面积之差,即
,所以只需根据直线方程(设直线斜率)与椭圆方程,利用韦达定理表示出
,并根据判别式大于零列出直线斜率取值范围,最后根据基本不等式求最值.
(1)
则曲线的方程为
和
(2)曲线的渐近线为
,如图,设直线
则
又由数形结合知
设点,则
,
即点 在直线
上
(3)由(1)知,曲线,点
设直线的方程为
设由韦达定理:
令,则
,当且仅当
即
时等号成立
时,
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】近年来,随着互联网技术的快速发展,共享经济覆盖的范围迅速扩张,继共享单车、共享汽车之后,共享房屋以“民宿”、“农家乐”等形式开始在很多平台上线.某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”,为了确定未来发展方向,此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了天.得到的统计数据如下表,
为收费标准(单位:元/日),
为入住天数(单位:),以频率作为各自的“入住率”,收费标准
与“入住率”
的散点图如图
x | 50 | 100 | 150 | 200 | 300 | 400 |
t | 90 | 65 | 45 | 30 | 20 | 20 |
(1)若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查,记为“入住率”超过
的农家乐的个数,求
的概率分布列;
(2)令,由散点图判断
与
哪个更合适于此模型(给出判断即可,不必说明理由)?并根据你的判断结果求回归方程.(
结果保留一位小数)
(3)若一年按天计算,试估计收费标准为多少时,年销售额
最大?(年销售额
入住率
收费标准
)
参考数据: