题目内容

【题目】如图,在五棱锥P-ABCDE中,△ABE是等边三角形,四边形BCDE是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°,G是CD的中点,点P在底面的射影落在线段AG上.

(Ⅰ)求证:平面PBE⊥平面APG;

(Ⅱ)已知AB=2,BC=,侧棱PA与底面ABCDE所成角为45°,S△PBE=,点M在侧棱PC上,CM=2MP,求二面角M-AB-D的余弦值.

【答案】(I)见解析; (II).

【解析】

(Ⅰ)由题易证BE⊥PO,BE⊥AG,可得BE⊥平面PAG,既而证得平面PBE⊥平面APG;

(II)建立空间直角坐标系,分别求出平面MAB和平面ABD的法向量,再根据二面角的公式求得二面角M-AB-D的余弦值即可.

(Ⅰ)取BE中点F,连接AF,GF,由题意得A,F,G三点共线,

过点P作PO⊥AG于O,则PO⊥底面ABCDE

∵BE平面ABCDE,∴BE⊥PO,

∵△ABE是等边三角形,

∴BE⊥AG

∵AG∩PO=O,∴BE⊥平面PAG,

∵BE平面PBE,

∴平面PBE⊥平面APG.

(II)连接PF,∵

又∵∠PAF=45°,∴PF⊥AF,∴PF⊥AF,

∴PF⊥底面ABCDE.

∴O点与F点重合.

如图,以O为原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴正方向,建立空间直角坐标系.

底面ABCDE的一个法向量

,∴

设平面ABM的法向量

,∴

,取

∵二面角的法向量分别指向二面角的内外,即为二面角的平面角,

∴cos<==

∴二面角M-AB-D的余弦值为

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