Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，CA=CB，D，E，F分别为AB，A1D，A1C的中点，点G在AA1上，且A1D⊥EG．

（1）求证：CD∥平面EFG；
（2）求证：A1D⊥平面EFG．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵E，F分别为A1D，A1C的中点，

∴EF∥CD，

∵CD平面EFG，EF平面EFG，

∴CD∥平面EFG

（2）证明：∵CA=CB，D为AB的中点，

∴CD⊥AB，

∵侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，

∴CD⊥侧面ABB1A1，

∴CD⊥A1D，

∵EF∥CD，

∴A1D⊥EF，

∵A1D⊥EG，EF∩EG=E，

∴A1D⊥平面EFG

【解析】（1）利用三角形的中位线的性质，证明EF∥CD，利用线面平行的判定定理证明：CD∥平面EFG；（2）利用等腰三角形三线合一证明CD⊥AB，利用平面与平面垂直的性质证明CD⊥A1D，利用线面垂直的判定定理证明：A1D⊥平面EFG．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想即可以解答此题．