题目内容

【题目】为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系,长郡中学数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查,其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人,余下的人中,在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占,统计成绩后,得到如下的列联表:

分数大于等于120分

分数不足120分

合计

周做题时间不少于15小时

4

19

周做题时间不足15小时

合计

45

(1)请完成上面的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”;

(2)(ⅰ)按照分层抽样的方法,在上述样本中,从分数大于等于120分和分数不足120分两组学生中抽取9名学生,设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是,求的分布列(概率用组合数算式表示);

(ⅱ)若将频率视为概率,从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人,求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.

附:

【答案】(1)见解析;(2)(ⅰ)见解析;(ⅱ) .

【解析】试题分析】(1)先算出卡方系数,再与参数值进行比对,从而做出判断;(2)先运用分层抽样的方法求出随机变量的概率分布,再借助概率分布的数学期望公式进行求解:

(1)

分数大于等于120分

分数不足120分

合计

周做题时间不少于15小时

15

周做题时间不足15小时

10

16

26

合计

25

20

∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”

(2)(ⅰ)由分层抽样知大于等于120分的有5人,不足120分的有4人

的可能取值为.

.

(ⅱ)设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人,这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量,由题意可知

.

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