题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)若直线
与曲线
和
分别交于
两点.设曲线
在点
处的切线为
,
在点
处的切线为
.
(ⅰ)当时,若
,求
的值;
(ⅱ)若,求
的最大值;
(Ⅱ)设函数在其定义域内恰有两个不同的极值点
,
,且
.
若,且
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)(ⅰ) (ⅱ)
(2)
【解析】试题分析:(1)由和导数可得
,
,可求得
。
由,则
在
上有解. 即
在
上有解.
设,
,则
.分
,a=0,a>0讨论。(2)
.
在其定义域内的两个不同的极值点
,. 即
,
. 两式作差得,
. 由
. 令
,则
,由题意知: l
在
上恒成立, 可求
范围。
试题解析: (Ⅰ) 函数的定义域为
.
,
.
(ⅰ)当时,
,
.
因为,所以
. 即
.
解得.
(ⅱ)因为,则
在
上有解. 即
在
上有解.
设,
,则
.
当时,
恒成立,则函数
在
上为增函数.
当
时,取
,
取,
, 所以
在
上存在零点.
当
时,
存在零点,
,满足题意.
(2)当时,令
,则
.则
在
上为增函数,
上为减函数.
所以的最大值为
.解得
.
取,
.
因此当时,方程
在
上有解.
所以, 的最大值是
.
另解:函数的定义域为
.
,
.
则,
.
因为,则
在
上有解.即
在
上有解.
因为,所以
.
令 (
).
.得
.
当,
,
为增函数;
当,
,
为减函数;
所以.
所以, 的最大值是
.
(Ⅱ)
.
因为为
在其定义域内的两个不同的极值点,
所以是方程
的两个根. 即
,
.
两式作差得, .
因为
,由
,得
. 则
. 令
,则
,由题意知:
在
上恒成立,
令,
则=
.当
,即
时,
,
,
所以在
上单调递增.
又,则
在
上恒成立.
当,即
时,
时,
,
在
上为增函数; 当
时,
,
在
上为减函数.
又,所以
不恒小于
,不合题意.
综上, .
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某公司为感谢全体员工的辛勤劳动,决定在年终答谢会上,通过摸球方式对全公司1000位员工进行现金抽奖。规定:每位员工从装有4个相同质地球的袋子中一次性随机摸出2个球,这4个球上分别标有数字、
、
、
,摸出来的两个球上的数字之和为该员工所获的奖励额
(单位:元)。公司拟定了以下三个数字方案:
方案 | ||||
一 | 100 | 100 | 100 | 500 |
二 | 100 | 100 | 500 | 500 |
三 | 200 | 200 | 400 | 400 |
(Ⅰ)如果采取方案一,求的概率;
(Ⅱ)分别计算方案二、方案三的平均数和方差
,如果要求员工所获的奖励额相对均衡,方案二和方案三选择哪个更好?
(Ⅲ)在投票选择方案二还是方案三时,公司按性别分层抽取100名员工进行统计,得到如下不完整的列联表。请将该表补充完整,并判断能否有90%的把握认为“选择方案二或方案三与性别有关”?
方案二 | 方案三 | 合计 | |
男性 | 12 | ||
女性 | 40 | ||
合计 | 82 | 100 |
附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 |