Question

12．a，b∈R⁺，证明不等式：$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$．
引申：（1）a，b，c∈R⁺，求证：
①（a+1）（b+1）（b+c）（c+a）≥16abc；
②$\frac{b+c-a}{a}$+$\frac{c+a-b}{b}$+$\frac{a+b-c}{c}$≥3；
（2）a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，求证：（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）≥8；
（3）a，b∈R⁺，求证：$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$．

Answer 1

分析 运用作差和配方，即可证得$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$；
（1）①由基本不等式和累乘法，即可得证；②拆项后再由基本不等式，累加即可得证；
（2）将1=a+b+c，代入展开，再由基本不等式，累乘即可得证；
（3）两边加上$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$，运用基本不等式，由累加即可得证．

解答 证明：a，b∈R⁺，$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$=$\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}$
=$\frac{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}}{2}$≥0，（当且仅当a=b取得等号）
即有$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$．
（1）a，b，c∈R⁺，
①（a+1）（b+1）（b+c）（c+a）
≥2$\sqrt{a}$•2$\sqrt{b}$•2$\sqrt{bc}$•2$\sqrt{ac}$=16abc（当且仅当a=b=c=1取得等号）；
②$\frac{b+c-a}{a}$+$\frac{c+a-b}{b}$+$\frac{a+b-c}{c}$=$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$-1+$\frac{c}{b}$+$\frac{a}{b}$-1+$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$-1
=（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$）-3
≥2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$+2$\sqrt{\frac{c}{a}•\frac{a}{c}}$+2$\sqrt{\frac{c}{b}•\frac{b}{c}}$-3=3（当且仅当a=b=c取得等号）；
（2）a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，
（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）=$\frac{b+c}{a}$•$\frac{a+c}{b}$•$\frac{a+b}{c}$
≥$\frac{2\sqrt{bc}•2\sqrt{ac}•2\sqrt{ab}}{abc}$=8（当且仅当a=b=c取得等号）；
（3）a，b∈R⁺，$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\sqrt{b}$≥2$\sqrt{\frac{a}{\sqrt{b}}•\sqrt{b}}$=2$\sqrt{a}$，
$\frac{b}{\sqrt{a}}$+$\sqrt{a}$≥2$\sqrt{\frac{b}{\sqrt{a}}•\sqrt{a}}$=2$\sqrt{b}$，
即有$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\sqrt{b}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$+$\sqrt{a}$≥2$\sqrt{a}$+2$\sqrt{b}$，
可得$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：证明不等式，注意变形和累加法、累乘法的运用，属于中档题．