Question

17．设f（x）=x³+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），则对任意实数a和b，“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的充要条件．

Answer 1

分析 利用奇函数的定义可得f（x）=x³+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）为奇函数，利用f′（x）≥0可知f（x）=x³+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），为R上的增函数，进而由充要条件的定义可得答案．

解答 解：令g（x）=log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）x∈R，
∵g（-x）+g（x）=log₂（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=log₂[（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）]=log₂1=0，
∴g（-x）=-g（x），
∴g（x）=log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）为奇函数，又y=x³为奇函数，
∴f（x）=x³+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）为奇函数．
又f′（x）=3x²+$\frac{1+\frac{1}{2}•\frac{2x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}}{（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）ln2}$=3x²+$\frac{1+\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}}{（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）ln2}$＞0恒成立，
∴f（x）=x³+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）为R上的增函数，
∴f（a）+f（b）≥0?f（a）≥-f（b）=f（-b）?a≥-b?a+b≥0．
故“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的充要条件，
故答案为：充要．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，分析得到f（x）=x³+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）为奇函数且为R上的增函数是关键，属于中档题