Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线经过点且倾斜角为，，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）过原点作直线的垂线，垂足为，交曲线于另一点，当变化时，求的面积的最大值及相应的的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，面积取最大值.

【解析】

（1）将曲线的参数方程化为普通方程，然后由可将曲线的普通方程化为极坐标方程；

（2）由题意可得出直线的极坐标方程为，将直线的极坐标方程与曲线的极坐标方程联立，求得，并求出、，可得出关于的表达式，并利用三角恒等变换思想化简，结合正弦函数的基本性质可求得面积的最大值及其对应的的值.

（1）曲线的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为，即，

根据转换为极坐标方程为；

（2）由题意知直线的极坐标方程为，

联立直线与曲线的极坐标方程得，所以.

故，，所以.

所以，

，，

当时，即时，面积取最大值.