Question

【题目】已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且4Sn，3Sn+1，2Sn+2成等差数列.

（1）求{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足b1＝0，bn+1﹣bn＝1，设cn，求数列{cn}的前2n项和.

Answer 1

【答案】（1）an＝2n﹣1，n∈N*（2）n2

【解析】

（1）运用等差数列的中项性质可得3Sn+1＝2Sn+Sn+2，即2an+1＝an+2，根据等比数列的定义，通项公式可求；

（2）由等差数列的定义和通项公式，可得bn，求得cn，运用数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和.

解：（1）由4Sn，3Sn+1，2Sn+2成等差数列，

可得6Sn+1＝4Sn+2Sn+2，即3Sn+1＝2Sn+Sn+2，

即2（Sn+1﹣Sn）＝Sn+2﹣Sn+1，

即2an+1＝an+2，又{an}为等比数列，所以等比数列{an}的公比为2，

又a1＝1，可得an＝2n﹣1，n∈N*；

（2）由b1＝0，bn+1﹣bn＝1，可得{bn}是首项为0，公差为1的等差数列，

则bn＝n﹣1，n∈N*，

cn，

所以{cn}的前2n项和为c1+c2+…+c2n＝（a1+a3+…+a2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）

＝（1+4+16+…+22n﹣2）+（1+3+…+2n﹣1）

nn2.