Question

【题目】已知直线l：3x+4y+m=0，圆C：x2+y2－4x+2=0，则圆C的半径r=_____；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB=90°，则实数m的取值范围是____．

Answer 1

【答案】

【解析】

按照直线与圆有无交点分两类讨论，有交点时，显然成立，无交点时，转化为过作圆的两条切线的夹角大于等于90°，进一步转化为的最小值小于等于2，转化为圆心到直线的距离小于等于2，据此可得答案.

由圆，得，所以圆的半径.

①当直线l：3x+4y+m=0与圆C：x2+y2－4x+2=0有交点时，显然满足题意，

此时，解得，

②当直线l：3x+4y+m=0与圆C：x2+y2－4x+2=0无交点时，或，

“在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB=90°”等价于“直线上存在点，过作圆的两条切线的夹角大于等于90°”，

设两个切点为、，则，所以，

所以，所以，

根据题意可得直线上存在点，使得，等价于，

又的最小值为圆心到直线的距离，

所以，解得.又或，

所以或，

由①②可得实数m的取值范围是.

故答案为：；.