题目内容

如图,从椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,又点A是椭圆与x轴正半轴的交点,点B是椭圆与y轴正半轴的交点,且ABOP,|F1A|=
10
+
5

(1)求椭圆E的方程.
(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点C,D,且
OC
OD
?若存在,写出该圆的方程,并求|CD|的取值范围;若不存在,说明理由.
(1)由题意可求点P的坐标为(-c,
b2
a
)
,由ABOP得,
kOP=kAB⇒-
b2
ac
=-
b
a
⇒b=c,a=
2
c
|F1A|=a+c=(1+
2
)c=
10
+
5
⇒c=
5

a=
10
,b=
5

椭圆E的方程为
x2
10
+
y2
5
=1

(2)假设存符合题意的圆,切线与椭圆的交点为C(x1,y1),D(x2,y2),
当该圆的切线不垂直x轴时,设其方程为y=kx+m,
由方程组
y=kx+m
x2
10
+
y2
5
=1
,得x2+2(kx+m)2=10,即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-10=0,
则△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-10)=8(10k2-m2+5)>0,即10k2-m2+5>0,
x1+x2=-
4km
1+2k2
x1x2=
2m2-10
1+2k2

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=
k2(2m2-10)
1+2k2
-
4k2m2
1+2k2
+m2=
m2-10k2
1+2k2

要使
OC
OD
,需使x1x2+y1y2=0,即
2m2-10
1+2k2
+
m2-10k2
1+2k2
=0

∴3m2-10k2-10=0,∴k2=
3m2-10
10
≥0

又10k2-m2+5>0,∴
2m2>5
3m2≥10

m2
10
3
,即m≥
30
3
m≤-
30
3

∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线,
∴圆的半径为r=
|m|
1+k2
r2=
m2
1+k2
=
m2
1+
3m2-10
10
=
10
3

所求的圆为x2+y2=
10
3

此时圆的切线y=kx+m都满足m≥
30
3
m≤-
30
3

而当切线的斜率不存在时,切线为x=±
30
3
,与椭圆
x2
10
+
y2
5
=1
的两个交点为(
30
3
,±
30
3
)
(-
30
3
,±
30
3
)
,满足
OC
OD

综上所述,存在圆心在原点的圆x2+y2=
10
3
,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点C,D,且
OC
OD

x1+x2=-
4km
1+2k2
x1x2=
2m2-10
1+2k2

(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-
4km
1+2k2
)2-4×
2m2-10
1+2k2
=
8(10k2-m2+5)
(1+2k2)2

|CD|=
1+k2
|x1-x2|
=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
40
3
4k4+5k2+1
4k4+4k2+1
=
40
3
(1+
k2
4k4+4k2+1
)

①当k≠0时,|CD|=
40
3
(1+
1
4k2+
1
k2
+4
)

4k2+
1
k2
+4≥8
,∴0<
1
4k2+
1
k2
+4
1
8

40
3
40
3
[1+
1
4k2+
1
k2
+4
]≤15

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