题目内容
已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=
的双曲线过点P（6，6）．
（1）求双曲线方程．
（2）动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l，使G平分线段MN，证明你的结论．
| ||
| 3 |
（1）求双曲线方程．
（2）动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l，使G平分线段MN，证明你的结论．
（1）根据题意，双曲线的离心率e=
，
则
=
，可得
=
；
设双曲线方程为
-
=λ，λ≠0；
由已知，双曲线过点P（6，6），
将其坐标代入方程，解可得λ=1，
则a2=9，b2=12．
所以所求双曲线方程为
-
=1；
（2）P、A1、A2的坐标依次为（6，6）、（3，0）、（-3，0），
∴三角形的重心G的坐标为（2，2）
假设存在直线l，使G（2，2）平分线段MN，
设M（x1，y1），N（x2，y2）．
∴l的方程为y=m（x-2）+2，
与双曲线方程联立消去y，
整理得x2-4x+28=0．
∵△=16-4×28＜0，
∴所求直线l不存在．
| ||
| 3 |
则
| c2 |
| a2 |
| 21 |
| 9 |
| b2 |
| a2 |
| 12 |
| 9 |
设双曲线方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 12 |
由已知，双曲线过点P（6，6），
将其坐标代入方程，解可得λ=1，
则a2=9，b2=12．
所以所求双曲线方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 12 |
（2）P、A1、A2的坐标依次为（6，6）、（3，0）、（-3，0），
∴三角形的重心G的坐标为（2，2）
假设存在直线l，使G（2，2）平分线段MN，
设M（x1，y1），N（x2，y2）．
∴l的方程为y=m（x-2）+2，
与双曲线方程联立消去y，
整理得x2-4x+28=0．
∵△=16-4×28＜0，
∴所求直线l不存在．
练习册系列答案
相关题目
上的两个动点，满足
。（Ⅰ）求证：
为定值； （Ⅱ）动点P在线段AB上，满足
，求证：点P在定圆上.
当点B在y轴上移动时记点C的轨迹为E.（Ⅰ）求曲线E的方程;（Ⅱ）已知向量
为方向向量的直线l交曲线E于不同的两点M，N，若D（－1，0），
的取值范围.
为椭圆E的两个左右焦点，抛物线C以
为顶点，
为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆离心率e满足
，则e的值为（ ）
B.
C. 
D.
