题目内容

已知中心在原点,顶点A1、A2在x轴上,离心率e=
21
3
的双曲线过点P(6,6).
(1)求双曲线方程.
(2)动直线l经过△A1PA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M、N,问:是否存在直线l,使G平分线段MN,证明你的结论.
(1)根据题意,双曲线的离心率e=
21
3

c2
a2
=
21
9
,可得
b2
a2
=
12
9

设双曲线方程为
x2
9
-
y2
12
=λ,λ≠0;
由已知,双曲线过点P(6,6),
将其坐标代入方程,解可得λ=1,
则a2=9,b2=12.
所以所求双曲线方程为
x2
9
-
y2
12
=1;

(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0),
∴三角形的重心G的坐标为(2,2)
假设存在直线l,使G(2,2)平分线段MN,
设M(x1,y1),N(x2,y2).
∴l的方程为y=m(x-2)+2,
与双曲线方程联立消去y,
整理得x2-4x+28=0.
∵△=16-4×28<0,
∴所求直线l不存在.
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