题目内容

设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合,分别是椭圆的左、右焦点,且离心率且过椭圆右焦点的直线与椭圆C交于两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线,使得.若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦, MNAB,求证:为定值.
(Ⅰ)(Ⅱ)直线的方程为(III)略
(1) 椭圆的顶点为,即,                 1分
,所以,                              2分
椭圆的标准方程为                                3分  
(2)由题可知,直线与椭圆必相交.
设存在直线,且.
,                     
,                  5分

=    7分  
所以,故直线的方程为           9分
(3)设,
由(2)可得:  |MN|=
=               11分
消去y,并整理得: ,
|AB|=,                         13分
 为定值                           14分
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