题目内容
已知H(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足
⑴当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C;
⑵过点T(-1,0)作直线l与轨迹C交于A、B两点,若在x轴上存在一点E(x0,0),使得△ABE是等边三角形,求x0的值.
⑴当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C;
⑵过点T(-1,0)作直线l与轨迹C交于A、B两点,若在x轴上存在一点E(x0,0),使得△ABE是等边三角形,求x0的值.
见解析
解(1)设点M的坐标为(x,y),则由得
,得。所以y2=4x 由点Q在x轴的正半轴上,得x>0,所以,动点M的轨迹C是以(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点.
(2)设直线l:y=k(x+1),其中k≠0代入y2=4x,得k2x2+2(k2-2)x+k2=0 ①
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个实数根,由韦达定理得
所以,线段AB的中点坐标为,线段AB的垂直平分线方程为
令 ,所以,点E的坐标为。因为△ABE为正三角形,所以,点E到直线AB的距离等于
所以,
,得。所以y2=4x 由点Q在x轴的正半轴上,得x>0,所以,动点M的轨迹C是以(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点.
(2)设直线l:y=k(x+1),其中k≠0代入y2=4x,得k2x2+2(k2-2)x+k2=0 ①
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个实数根,由韦达定理得
所以,线段AB的中点坐标为,线段AB的垂直平分线方程为
令 ,所以,点E的坐标为。因为△ABE为正三角形,所以,点E到直线AB的距离等于
所以,
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