Question

（本小题满分14分）
已知直线l与椭圆(a＞b＞0)相交于不同两点A、B,,且,以M为焦点,以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线l相交于N(4,1). (I)求椭圆的离心率; (II)设双曲线的离心率为,记,求的解析式,并求其定义域和值域.

Answer 1

(I) 由题设易知,点M是线段AB的中点,又由知M(2,1).设A(), B(),

则. 又易知,
两式作差得:=
=,∴.又,
∴. 故.  
(II) 设椭圆的右准线为,过点N作⊥于点,则由双曲线定义及题意知:
,
∴=. 由题设知l:,代入椭圆方程
得:.由△>0得, 由得.
∴ 的定义域为:. 而在上单调递减,
∴∈,即∈. 
注:的定义域也可由“点M在椭圆内部,”求得.