Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆C与直线l：y=kx+m相交于E、F两不同点，且直线l与圆O：x²+y²=$\frac{2}{3}$相切于点W（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程并证明：OE⊥OF；
（Ⅱ）设λ=$\frac{|EW|}{|FW|}$，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得2b=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，从而求出椭圆C的方程；
由直线l与圆O相切化简可得m²=$\frac{2}{3}$（1+k²）；由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，从而结合韦达定理及向量的数量积化简可得$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$=0，从而证明．
（Ⅱ）由直线l与圆O相切于W，且$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$+${y}_{1}^{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}$+${y}_{2}^{2}$=1可得λ=$\frac{|EW|}{|FW|}$=$\frac{\sqrt{|OE{|}^{2}-{r}^{2}}}{\sqrt{|OF{|}^{2}-{r}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{\frac{{x}_{1}^{2}}{2}+\frac{1}{3}}}{\sqrt{\frac{{x}_{2}^{2}}{2}+\frac{1}{3}}}$，再由x₁x₂+y₁y₂=0可得${x}_{2}^{2}$=$\frac{4-2{x}_{1}^{2}}{2+3{x}_{1}^{2}}$；从而化简λ=$\frac{2+3{x}_{1}^{2}}{4}$，从而求实数λ的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，
2b=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，
解得，a²=2，b²=1；
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
∵直线l与圆O相切，
∴圆x²+y²=$\frac{2}{3}$的圆心到直线l的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}$，
∴m²=$\frac{2}{3}$（1+k²）；
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$可得，
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）；
则x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$=x₁x₂+y₁y₂
=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=（1+k²）$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-km$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$+m²
=$\frac{3{m}^{2}-2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2（1+{{k}^{2}}_{\;}）-2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$=0，
∴OE⊥OF．
（Ⅱ）∵直线l与圆O相切于W，$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$+${y}_{1}^{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}$+${y}_{2}^{2}$=1，

∴λ=$\frac{|EW|}{|FW|}$=$\frac{\sqrt{|OE{|}^{2}-{r}^{2}}}{\sqrt{|OF{|}^{2}-{r}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}-\frac{2}{3}}}{\sqrt{{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}-\frac{2}{3}}}$=$\frac{\sqrt{\frac{{x}_{1}^{2}}{2}+\frac{1}{3}}}{\sqrt{\frac{{x}_{2}^{2}}{2}+\frac{1}{3}}}$，
由（Ⅰ）知x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂=-y₁y₂，即${x}_{1}^{2}$${x}_{2}^{2}$=${y}_{1}^{2}$${y}_{2}^{2}$，
从而${x}_{1}^{2}$${x}_{2}^{2}$=（1-$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$）（1-$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}$），
即${x}_{2}^{2}$=$\frac{4-2{x}_{1}^{2}}{2+3{x}_{1}^{2}}$；
∴λ=$\frac{\sqrt{\frac{{x}_{1}^{2}}{2}+\frac{1}{3}}}{\sqrt{\frac{{x}_{2}^{2}}{2}+\frac{1}{3}}}$=$\frac{2+3{x}_{1}^{2}}{4}$，
∵-$\sqrt{2}$≤${x}_{1}^{\;}$≤$\sqrt{2}$，
∴λ∈[$\frac{1}{2}$，2]．

点评 本题考查了椭圆的标准方程的求法，利用平面向量的数量积证明垂直，韦达定理的应用，重点考查了学生的化简运算能力，属于难题．