Question

20．抛物线y²=2x的内接△ABC的三条边所在直线与抛物线x²=2y均相切，已知点C（8，4），设A，B两点的纵坐标分别是a，b，则a+b=-4．

Answer 1

分析 通过分别设出A、B点坐标，然后由两点坐标分别求得三角形三边所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，和抛物线方程联立，由判别式等于0得到a、b、4所满足的条件，进而计算可得结论．

解答 解：如图，A（$\frac{1}{2}$a²，a），B（$\frac{1}{2}$b²，b），C（8，4）
∵k_AB=$\frac{b-a}{\frac{1}{2}{b}^{2}-\frac{1}{2}{a}^{2}}$=$\frac{2}{b+a}$，
∴AB所在直线方程为y-b=$\frac{2}{b+a}$（x-$\frac{1}{2}$b²），即y=$\frac{2}{b+a}$x+$\frac{ab}{b+a}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{b+a}x+\frac{ab}{b+a}}\\{{x}^{2}=2y}\end{array}\right.$，消去y、整理得：（b+a）x²-4x-2ab=0，
则△=16+8ab（a+b）=0，即2+ab（a+b）=0，
同理可得：2+4a（4+a）=0，2+4b（4+b）=0，
两式作差得：4=-a-b，即a+b=-4，
故答案为：-4．

点评 本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线和抛物线相切的条件，考查了运算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．