已知点F是抛物线y2=2px的焦点.其中p是正常数.点M的坐标为.点N在抛物线上.且满足$\overrightarrow{ON}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OM}$.O为坐标原点．(1)求抛物线的方程,(2)若AB.CD都是抛物线经过点F的弦.且AB⊥CD.AB的斜率为k.且k＞0.C．A两点在x轴上方.△AFC与△BFD的面积之和为S.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

已知点F是抛物线y²=2px的焦点，其中p是正常数，点M的坐标为（12，8），点N在抛物线上，且满足$\overrightarrow{ON}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OM}$，O为坐标原点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若AB，CD都是抛物线经过点F的弦，且AB⊥CD，AB的斜率为k，且k＞0，C．A两点在x轴上方，△AFC与△BFD的面积之和为S，求当k变化时S的最小值．

分析（1）利用已知条件求出p．即可得到抛物线的方程．
（2）设直线AB的方程为y=kx-k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与抛物线方程，利用韦达定理结合直线的垂直关系，求出三角形的面积表达式，利用基本不等式求解即可．

解答解：（1）∵$\overrightarrow{ON}=\frac{3}{4}\overrightarrow{OM}$，∴N（9，6），
有点N在抛物线上，36=18p，
解得p=2．
所以该抛物线的方程为y²=4x．…（4分）
（2）由题意得直线AB，CD的斜率都存在且不为零，
∵F（1，0）∴设直线AB的方程为y=kx-k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-k}\\{{y^2}=4x}\end{array}$消去x得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，${x_1}+{x_2}=2+\frac{4}{k^2}$，x₁x₂=1，①…（6分）
∵AB⊥CD，用$-\frac{1}{k}$反代上式中的k，同理可得：${x_3}+{x_4}=2+4{k^2}$，x₃x₄=1②；…（8分）
${S_{△AFC}}+{S_{△BFD}}=\frac{1}{2}|AF||CF|+\frac{1}{2}|BF||DF|$=$\frac{1}{2}（{x_1}+1）（{x_3}+1）+\frac{1}{2}（{x_2}+1）（{x_4}+1）$=$\frac{1}{2}（{x_1}{x_3}+{x_2}{x_4}+{x_1}+{x_2}+{x_3}+{x_4}+2）$…（10分）
将①，②代入，可得${S_{△AFC}}+{S_{△BFD}}=\frac{1}{2}（\frac{1}{{{x_2}{x_4}}}+{x_2}{x_4}+6+\frac{4}{k^2}+4{k^2}）≥8$，（当且仅当k=1，且${x_2}=3-2\sqrt{2}，{x_4}=3+2\sqrt{2}$时，“=”成立）
∴S_△AFC+S_△BFD的最小值是8．…（12分）