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题目内容

12.设F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点,若此椭圆上一点P满足|PF2|=|F1F2|,且原点O到直线PF1的距离不超过b,则离心率e的取值范围是(  )
A.1322]B.(0,57]C.[57,1)D.1357]

分析 通过过点F2作F2D⊥PF1于D点,过点O作OE⊥PF1于E点,利用△PF1F2是等腰三角形及椭圆的定义、三角形中位线定理,计算即得结论.

解答 解:∵点P在椭圆C上,∴根据椭圆的定义,可得|PF1|+|PF2|=2a.
又∵|PF2|=|F1F2|=2c,∴|PF1|=2a-2c,
过点F2作F2D⊥PF1于D点,过点O作OE⊥PF1于E点,
∵|PF2|=|F1F2|,
∴△PF1F2是等腰三角形,可得D是PF1的中点,从而DF1=12|PF1|=a-c,
∵在Rt△DF1F2中,|DF1|2+|DF2|2=|F1F2|2
∴|DF2|=|F1F2|2|DF1|2=4c2ac2=3c2+2aca2
∵在△DF1F2中,OE是中位线,
∴|OE|=12|DF2|=123c2+2aca2
又∵原点O到直线PF1的距离不超过b,
123c2+2aca2≤b,
化简得:3c2+2ac-a2≤4(a2-c2),即7c2+2ac-5a2≤0,
两边都除以a2得:7e2+2e-5≤0,解得-1≤e≤57
结合椭圆的离心率e∈(0,1),可得0<e≤57
又∵在等腰△PF1F2中,|PF2|+|F1F2|>|PF2|,
∴2c+2c>2a-2c,得a<3c,∴e=ca13
综上所述,椭圆的离心率e的取值范围是(1357].
故选:D.

点评 本题考查椭圆的简单性质,涉及到勾股定理、椭圆离心率、三角形中位线定理等基础知识,注意解题方法的积累,属于中档题.

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