题目内容

4.已知函数f(x)=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}-b}$(a、b为实数,且a>0)是奇函数.
(1)求a与b的值;
(2)解不等式f(log${\;}_{\frac{1}{3}}$x)+f(-1)>0.

分析 (1)利用f(x)是奇函数,f(0)=0,f(-1)+f(1)=0,求出a、b的值;
(2)由(1)得f(x)定义域上的减函数,把不等式f(log${\;}_{\frac{1}{3}}$x)+f(-1)>0化为${log}_{\frac{1}{3}}$x<1,求出解集即可.

解答 解:(1)∵函数f(x)=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}-b}$是奇函数,
∴f(0)=$\frac{-1+a}{2-b}$=0,
解得a=1;
又f(-1)+f(1)=$\frac{-\frac{1}{2}+1}{1-b}$+$\frac{-2+1}{{2}^{2}-b}$=$\frac{\frac{1}{2}b+1}{(1-b)(4-b)}$=0,
解得b=-2;
(2)由(1)得,f(x)=$\frac{{-2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$是定义域上的减函数,
∴不等式f(log${\;}_{\frac{1}{3}}$x)+f(-1)>0可化为
f(${log}_{\frac{1}{3}}$x)>-f(-1)=f(1),
即${log}_{\frac{1}{3}}$x<1,
解得x>$\frac{1}{3}$;
∴该不等式的解集为{x|x>$\frac{1}{3}$}.

点评 本题考查了不等式的解法与应用问题,也考查了函数的性质与应用问题,是综合性题目.

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