题目内容
【题目】已知椭圆的两个焦点分别为
,
,且经过点
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)的顶点都在椭圆
上,其中
关于原点对称,试问
能否为正三角形?并说明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)
不可能为正三角形,理由见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)设椭圆的标准方程为
,依题意得
,利用椭圆的定义可得
,则椭圆
的标准方程为
.
(Ⅱ)若为正三角形,则
且
,
显然直线的斜率存在且不为0,设
方程为
,联立直线方程与椭圆方程可得
,
,则
,同理可得
.据此可得关于实数k的方程
,方程无解,则
不可能为正三角形.
试题解析:
(Ⅰ)设椭圆的标准方程为
,
依题意得,
,
所以,
,
故椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)若为正三角形,则
且
,
显然直线的斜率存在且不为0,
设方程为
,
则的方程为
,联立方程
,
解得,
,
所以,
同理可得.
又,所以
,
化简得无实数解,
所以不可能为正三角形.
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练习册系列答案
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【题目】某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x(百万元)与公司所获得利润y(百万元)的散点图发现,y与x之间具有线性相关关系,具体数据如下表:
年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 |
科研费用x(百万元) | 1.6 | 1.7 | 1.8 | 1.9 | 2.0 |
公司所获利润y(百万元) | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
(1)求y关于x的回归直线方程;
(2)若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元,预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元.